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集合的概念、基本关系及运算

来源:岭南师范学院数学与统计学院 作者:李秋霞

专题1 集合的概念、基本关系及运算

一、考点

1.集合的含义及表示

2.元素与集合的关系

3.集合与集合的关系

4.集合的基本运算(并集、交集、补集)

二、重难点

1.重点:(1)集合间的基本关系

(2)集合的基本运算;

2.难点:集合的基本关系及其运算

三、内容

考点1:集合的概念

1.元素与集合的概念

(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.

(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的.

(4)元素的特性:确定性、无序性、互异性.

2.元素与集合的关系

关系 语言描述 记法 读法

属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A

不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A

3.常用的数集及其记法

常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

记法 N N*或N+ Z Q R

考点2:集合的表示

1.列举法

例如:集合A中有四个元素0,1,2,3可表示为:{0,1,2,3}

把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法

例如: A={x|x=3k+2,k∈Z},B={x|x=6m-1,m∈Z}

(1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

考点3:集合间的基本关系

1.子集的概念

定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集

记法

与读法 记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”)

图示

结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.

(2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C

2.集合相等的概念

如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.

3.真子集的概念

定义 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集

记法 记作A B(或B A)

图示

结论 (1)A B且B C,则A C;

(2)A⊆B且A≠B,则A B

4.空集的概念

定义 我们把不含任何元素的集合,叫做空集

记法 φ

规定 空集是任何集合的子集,即∅⊆A

特性 (1)空集只有一个子集,即它的本身,∅⊆∅

(2)A≠∅,则∅ A

考点4:集合的基本运算

1.并集和交集,补集的概念及其表示

类别

概念 自然语言 符号语言 图形语言

并集 由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) A∪B=

{x|x∈A,或x∈B}

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) A∩B=

{x|x∈A,且x∈B}

补集 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA ∁UA={x|x∈U,且x∉A}

类型一:集合的含义与表示

例1:P3.自主学习3.(互异性)

练习1:设集合 ,若 ,则 的值为( )

A. B. C. D.

例2:P3.自主学习5.(列举法)

练习2:P4.例2(1)例3(1)

类型二:元素与集合的关系

例3:已知集合A= ,则 的取值范围为________.

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