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关于数学期望问题

来源:岭南师范学院数学与统计学院 作者:张薷丹

1、提出问题

由高等教育出版社出版的《概率论与数理统计》第四版的第91页例1问了这么一个问题,“某医院当新生儿诞生时,医生要根据婴儿的皮肤颜色、肌肉弹性、反应的敏感性、心脏的搏动等方面的·情况进行评分,新生儿的得分X是一个随机变量。据以往的资料表明X的分布律为

问:X的数学期望E(X)是多少?”。

这是一个看似简单实则大有探究意义的题目,书本上的计算方法是公式法:E(X)=0×0.002+1×0.001+2×0.002+3×0.005+4×0.02+5×0.04+6×0.18+7×0.37+8×0.25+9×0.12+10×0.01=7.15(分),这意味着,若考察医院出生的很多新生儿,例如1000个,那么一个新生儿的平均得分约7.15分,1000个新生儿共得分约为7150分。

对于这个问题还会存在其他算法吗?

2、问题的探究与解决

事实上,大部分题目都有很多种方法可以计算求得,而计算数学期望的方法,无非就是这两种:定义法以及上面所说的公式法。所谓定义法就是,根据定义,E(X)= ∑p(X)*X(离散情况)∫f(X)dX(连续情况)。对于这道题我们是否能用定义法解决呢?我想答案显然是可以的,定义法答案如下:设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,… 若级数

绝对收敛,则称级数

的和为随机变量X的数学期望,记为E(X),即

。又设连续随机变量X的概率密度为f(x),若积分

绝对收敛,则积分

的值为随机变量X的数学期望,即

,由此可以算出E(X)=7150(分)。

虽然定义法也能算出准确的答案,但是学生都更喜欢用公式法,理由很简单,无非就是公式法较定义法更为简洁、更容易计算、更清晰明了,很少有学生会用定义法,谁不想快速解决这道题后立刻进行下一题的解答,没有必要弄得如此繁琐。有人或许会疑惑,既然这样,那为什么老师还要教定义法,而不直接教公式法就行?事实上,定义法存在的意义非常重要,要说公式法存在的意义是便捷学生计算,那定义法则是让学生理解数学期望究竟是如何算出来的、它究竟从何而来。公式法注重的是计算,定义法注重的是理解,各有各的不同,但终究是有益于学生学习的。

3、启示与建议

经过上面一系列的思考,我不仅仅看清了问题的实质,还得到了启示:在同一道题里他可能会有好几种不同的算法,但我们并不知道哪个更简单快速,只有一遍遍算过之后才能得出最好的方法,然而,在考试的时候根本不可能有这么多时间去钻研哪个方法更简便,只能想到哪种方法就写那种,这就需要我们平时多练题掌握好哪种题型配最好的方法。生活亦是如此,只有经历过种种苦难、走过条条“道路”,方知最适合自己的是哪个。

4、结束语

有一个简单的问题引申到人生道理,这其实一点也不奇怪,有很多伟人都是由一个小小的问题提出一个大大的哲理,就譬如牛顿先生因为“苹果从树上掉下地”而发现了引力的存在,爱因斯坦先生因为笔直地摔下地而思考对他的“相对论”有着很大的帮助;莱特兄弟因为对小鸟能飞翔的向往而有了飞机的雏形…我对这道题的启示虽然没有各科学家的那么伟大,但也算我对这道题的理解吧。

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